lukasz.proszek.info

1 F1 - ,,Analiza Fourierowska” – Wstęp teoretyczny”

1.1 Idea rozkładu funkcji okresowej na szereg Fouriera

warunek 1. Przedział da się podzielić na dwa przedziały takie, że w pierwszym funkcja jest roznąca, a w drugim malejąca.

warunek 2. funkcja jest ciągła dla kazdego x.

Funkcję okresową F(t) o okresie T spełniającą powyrzsze warunkie (Dirichleta) mona przedstawić w postaci szeregu Fouriera:

F(t)=

∞

n=0

a_n cos(n ω t)

∞

n=1

b_n sin(n ω t)

(1)

gdzie współczynniki a_n i b_n są dane przez:

a_n=

∫

t₀+T

t₀

F(t)cos(n ω t) dt

; n=0,1,2,… (2)

b_n=

∫

t₀+T

t₀

F(t)sin(n ω t) dt

; n=0,1,2,… (3)

gdzie ω=2 π f=2π/T jest częstością kołową.

Znajdowanie powyrzszych współczynników nosi nazwę analizy Fourierowskiej.

1.2 sygnał prostokątny

y(t)=U dla t ∈ [0, T/2] y(t)=−U dla t ∈ [T/2,T]

Dla tak zdefiniowanego sygnału współczynniki szeregu fourierowskiego mają postać:

a_n = 0, dla n=0,1,2,…

b_n=4U/π i, dla n nieparzyste

b_n=0, dla n parzyste

1.3 sygnał trójkątny

f(x)=|x|, x∈[−π,π

a_n=2/π x cosnx dx=2/π n² [ (−1)ⁿ −1 ]

b_n=0

|x|=π/2−π/4 Σ_j=2k+1coskx/k², dla x∈[−π,π]

1.4 Układ RLC jako filtr pasmowy

w chwili t₀ dla kondensatora: U=V₀, I=0, q=0. Szeregowy układ R L C. Zgodnie z II prawem Kirchoffa można napisać:

−IR−L

−

∫I dt=0 (4)

Wprowadzając oznaczenia: β=R/2L(współczynnik tłumienia), ω₀=√(LC)⁻¹(częstość własna układu) równanie wygląda następująco:

I + 2 β I + ω₀² I =0 (5)

Dla małego tłumienia (β<ω₀) rozwiązanie przybiera postać:

I(t)=

V₀

Lω

e^{β t} sinω t (6)

gdzie ω=√(ω₀²−β² ). Widać, że oscylacje prądu w układzie zanikają ze stałą tłumienia β. Dla dużych t wynik dąży do 0.

1.4.1 sygnał sinusoidalny

Na wejście układu RLC podajemy sygnał: ϵ = ϵ₀ sinΩ t. Dla takiego układu można napisać równanie:

I+2 β I + ω₀² I =

ϵ₀

Ω cosΩ t (7)

Ogólnym rozwiązaneim będzie suma ogólnego rozwiązania równania jednorodnego −IR−L dI/dt−1/C ∫I dt=0 i rozwiązanie szczególne.

Rozwiązanie szczególne, dla interesujących nas parametrów, ma postać:

√((2 β Ω)² + (ω₀² − Ω²)²)

sin(Ω t + Φ) (8)

gdzie

tgΦ=

Ω²−ω₀²

2 β Ω

(9)

Równanie to opisuje zależność prądu płynącego w układnie od częstości sygnału podanego na wejściu układu.

Dla częstości rezonansowej układu:

Ω=ω₀=

√(LC)

(10)

Natężenie prądu w układzie przyjmuje wartość maksymalną:

I₀^max=

ϵ₀

, Φ=0 (11)

1.5 F1 - Plan Pracy

ETAP I

uzyskanie z generatora sygnału prostokątnego o częstotliwości w zakresie 1-3 kHz.
pomiar amplitudy oraz częstości sugnału wejściowego U_wej
dla R=100Ω−1Ω i L=0,1H−0,9H oraz kolejnych obliczonych pojemności – na oscyloskopie przebieg sinusoidalny odpowiadający kolejnym harmonicznym. Pomiar amplitudy kolejnych harmonicznych.

ETAP II

uzyskanie z generatora sygnału trójkątnego o częstotliwości w zakresie 1-3 kHz.
pomiar amplitudy oraz częstości sugnału wejściowego U_wej
dla R=100Ω−1Ω i L=0,1H−0,9H oraz kolejnych obliczonych pojemności – na oscyloskopie przebieg sinusoidalny odpowiadający kolejnym harmonicznym. Pomiar amplitudy kolejnych harmonicznych.

ETAP III

uzyskanie z generatora sygnału sinusoidalnego o amplitudzie U_wej
dla odpowiednio dobrych nastawień R, L, C i częstotliwości – transformata funkji sinus.
zmieniając częstość sygnału wejściowego uzyskać zależność amplitudy sygnału wyjściowego A_wyj od częstotliwości kolejnych harmonicznych. Maksymalnych wartości amplituday należy oczekiwać w pobliżu nieparzystych wielokrotności częstości podstawowej.

This document was translated from L^AT_EX by H ^EV^EA.

Przypominam, że materiały te udostępnione zostały na zasadzie licencji CC: Uznanie Autorstwa - Użycie niekomercyjne - Na tych samych warunkach. Autor: Łukasz (frogu) Proszek.