lukasz.proszek.info

1 O2/O3 - wstęp teoretyczny

1.1 prawo załamania

Światło ulega załamaniu przechodząc między ośrodkami o różnej prędkości rozchodzenia się fali ulega załamaniu. Współczynnik załamania n dany jest zależnością n=c/v, gdzie c – prędkość światła w próżni, v – prędkość światła w danym ośrodku. Prawo załamania można w prosty sposób wyprowadzić z zasady Fermata, mówiącej że światło przebywa drogę z punktu A do punktu B tak aby droga optyczna (L=Σ_iⁿl_i v_i) była minimalna dL/dx=0 była najmniejsza. Prawo Załamania mówi nam, że n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂ (lub w bardziej znanej formie sinθ₁/sinθ₂=n₂/n₁

1.2 prawo odbicia

Prawo odbicia można w bardzo prosty sposób wyprowadzić z zasady Fermata. Jest to chyba najlepiej znane prawo z optyki, miwi ono, że kąt padania jest równy kątowi odbicia. sinθ₁ = sinθ₂ ⇒ θ₁ = θ₂

1.3 dyspersja

Dyspersja dn/dλ (pochodna współczynnika załamania względem długości fali) - opisuje zmianę współczynnika załamania wraz ze zmianą długości fali.

1.3.1 dyspersja normalna

Dyspersja w obszarze, w którym nie występuje absorpcja. Równanie, które w tym miejscu obowiązuje ma postać: n=A+B/λ²+C/λ⁴+⋯ , gdzie n – współczynnik załamania, λ – długość fali, A, B, C są stałymi charakterystycznymi dla poszczególnych substancji. Aby znaleźć wartośći liczbowe tych stałych, często wystarcza wykożystać skrócone równanie Cauchy'ego n=A+B/λ² i określenie n dla dwu długości fali. Różniczkójąc skrócone równanie C. względem λ otrzymujemy dn/dλ=−2B/λ², co mówi nam, że dyspersja zmienia się w przybliżeniu jak 1/λ³. Przy 400 nm jest ona około 8 razy większa niż przy 800 nm.

1.3.2 dyspersja anomalna

Dyspersję nazywamy normalną, gdy współczynnik załamania gladko i w sposób ciągły zmniajsza się wraz ze wzrostem długości fali. Gdy jednak matriał wykazuje jakąś selektywną absorpcję, normalna krzywa dyspersji i równanie Cauchy'ego już nie obowiązują. Pierwszej próby zastąpienia równania Cauchy'ego dokonał Sellmeier: n²=1+Σ_ak_aλ²/λ²−λ_a² , gdzie k_a jest stałą, a λ_a długoścją fali absorpcji.

1.4 soczewki

Soczewką nazywamy bryłę z przezroczystego materiału, ograniczoną dwoma powierzchniami sferycznymi¹, których krzywizny leżą na osi, zwanej osią optyczną soczewki. Wiązka promienie biegnących równolegle do osi optycznej soczewki skupiającej, po przejści skupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. W soczewce rozpraszającej w ognisku przecinają się przedłużenia promieni przechodzących. Odległość ogniska od powierzchni środkowej nazywamy ogniskową.

Soczewki skupiające (dodatnie): dwuwypukła, płasko-wypukła, menisk dodatni.

Soczewki skupiające (ujemne): dwuwklęsła, płasko-wklęsła, menisk ujemny.

Cienką soczewkę można rozpatrywać jako sumę dwóch pojedynczych powierzchni załamujących, Ze względu na to, że światło przechodzi przez te dwie powierzchnie, ich moce dodają się: P=P₁+P₂=Δ n/R₁+Δ n/R₂ ⇒ P=Δ n (1/R₁+1/R₂), gdzie Δ n jest wartością bezwzględną różnicy pomiędzy współczynnikami załamania matariału, z którego wykonana jest soczewka i ośrodka zewnętrznego.

1.5 powstawanie obrazów soczewce skupiającej i rozpraszającej

Promień padający na środek soczewki przejdzie przez nią bez odchylenia.

Promień równoległy do osi i padający na soczewkę przechodzi wprost lub po przedłużeniu przez drugi punkt ogniskowy².

Promień padający na soczewkę po przejściu wprost lub po przdłużeniu przez pierwszy punkt ogniskowy³, wyjdzie z soczewki w kierunku równoległum do osi.

1.6 równanie soczewki (przy założeniu, że promienie wychodzące tworzą mały kąt z osią soczewki)

1/p+1/o=(n−1)(1/R₁−1/R₂),gdzie p – odległość przedmiotu od soczewki, o – odległość obrazu od soczewki, R₁ – promień krzywizny pierwszej powierzchni, na którą pada światło, R₂ – promień drugiej krzywizny.

Odległość obrazu jest dodatania, jeżeli obraz (rzeczywisty) leży po stronie R soczewki

Odległość obrazu jest ujemna, jeżeli obraz (pozorny) leży po stroniw U soczewki

promienie krzywizny są dodatnie jeżeli środki krzywizny leżą po stronie R soczewki, a ulemne jak leżą po stronie U. R – strona gdzie widać obraz rzeczywizty, U – strona gdzie widać obraz pozorny⁴

Aby obliczyć ogniskową soczewki podstawiamy do równania p→∞ oraz o=f, daje to: 1/f=(n−1)(1/R₁−1/R₂)
Związek ten nzywamy równaniem soczewki

1.7 metody wyznaczania ogniskowej soczewki

1.7.1 w oparciu o równanie soczewki

przyrówując do siebie równania z poprzedniego podpunktu otrzymujemy równanie⁵ w postaci: 1/p+1/o=1/f.

Po przekształceniach dostajemy równanie w postaci: f=p o/o+p

1.7.2 przy pomocy metody Bessela (metoda ognisk sprzężonych)

Odległość pomiędzy przedmiotem a ekranem dobieramy tak, abyy była większa od czterech ogniskowych. Przesuwając soczewkę tam i z powrotem wzdłuż osi, uzyskujemy dwa położenia soczewki, dla których obraz jest ostry. W jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a w drugim pomniejszony.
o₁+p₁=d oraz o₁+p₁=d, gdzie d jest odległością przedmiotu od obrazu. Wielkośći z indeksem 2 odnoszą się do zmienionego położenia soczewki. Z uwagi na symetrię układu p₁=o₂ oraz p₂=O₁ oznaczając położenia soczewki jako a₁ oraz a₂, obliczamy różnicę ich położeń a a=|a₁−a₂|.
p+a+o₂=d⇒ 2p+a=d⇒ p=d−a/2
Również o=a+o₂=a+p=a+1/2( d−a), oraz o=d+a/2
podstawiając do równania soczewki, otrzymujemy f=d²−a²/4d

1.8 ogniskowa układu dwóch cienkich soczewek

Gdy dwie soczewki umiesczone są w kontakcie ze sobą, a ich osie pokrywają się, skolimowaniw skolimowanie śwaitła wychodzącego z pierwszej soczewki jest skolimowaniem światła wchodzęcego do drugiej soczewki. Dlatego całkowitaprzybliżona moc optyczna układu cinkich soczewek jest rówan sumie mocy optycznych soczewek składowych: P=P₁+P₂, ze względu na to, że moc optyczna jest odwrotnośćią ogniskowej (P=1/f). tak więc ogniskowa układu f=f₁f₂/f₁+ f₂

1.9 wady soczewek

1.9.1 aberracja sferyczna

Aberracja sferyczna jest to zjawisko zachodzące wtedy, gdy promienie przechodzące przez różne strefy soczewki dochodzą do różnych ognisk. Na ogół promienie bliskie osi optycznej są mniej załamywane i dochodzą do ogniska leżącego dalej od soczewki niż ognisko dla promieni brzegowych. Jest to dodatnia aberracja sferyczna podłużna⁶. Gdy promienie brzegowe mają dłuższą ogniskową, wtedy aberracja sferyczna jest ujemna⁷.
Dla promieni przyosiowych obowiązuje wzór Gaussa n₁/p+n₂/o=n₂−n₁/R⁸. Wtedy dla promieni na wysokości h od osi optycznej znajdujemy n₂/o_h=n₂/ f₂+h² n₁²/2f₂R² n₂

1.9.2 aberracja chromatyczna

Współczynnik załamania każdego ośrodka przezroczystego zmienia się wraz z długością fali. Dlatego pojedyncza soczewka ma różne ogniskowe dla różnych barw światła. Dla pojedynczej soczewki dodatniej, światło niebieskie dociera do ogniska znajdującego się bliżej soczewki niż dla światła czerwonego. Ta odległość pozioma pomiędzy obrazami osiowymi nazywana jest podłużną aberracją chroamtyczną
Obraz oglądany w ,,ognisku niebieskim” będzie wykazywał niebieskie szczegóły, otoczone czerwoną otoczką i vice versa obraz oglądany w ,,ognisu czerwonym” będzie wykazywał czerwone szczegóły otoczone niebieską otoczką.
Aberracja chromatyczna nazywana jest dodatnią, gdy ognisko niebieskie leży bliżej soczewki. Można wyrazić wielkość aberracji chromatycznej jako różnicę pomiędzy ogniskową dla światła czerwonego a ogniskową dla światła niebieskiego.

1.9.3 astygmatyzm

Wąska wiązka światła o przekroju kołowym pada na powierzchnię sferyczną, w pewej odległości od osi optycznej. Na powierzchni tej światło będzie tworzyć elipsę o wielkiej osi skierowanej w stronę punktu wierzchołkowego powirzchni i o małej osi pod kątem prostym do wielkiej. Promienie leżące na osi wielkiej docierają do ogniska tangencjalnego, Promienie leżące na małej osi docierają do ogniska zwanego ogniskiem sagitalnym lub radialnym. (przedmiot — soczewka — f_tangencjalne — f_radialne

2 plan pracy

pomiary dla soczewki skupiającej - równanie soczewki
pomiary dla soczewki skupiającej - metoda Bessela
pomiary dla układu soczewek (+ i -) - metoda Bessela
pomiary aberracji sferycznej soczewki grubej metodą Bessela. (3 przesłony)
pomiary aberracji chromatycznej soczewki grubej metodą Bessela
obserwacja astygmatyzmu soczewki grubej

3 opracowanie wyników

3.1 soczewka cienka skupiająca – równanie soczewki

Podczas tego pomiaru przesuwałem soczewką po ławie optycznej szukając ostrego powiększonego obrazu na ekranie. Pomiaru dokonałem 3 krotnie. w każdym pomiarze wyszukiwałem taką pozycję 5 krotnie, oraz 5 krotnie dla soczewki obróconej o π (dlatego, że środek soczewki nie pokrywał się ze środkiem ,,saneczek”)

pomiar	1	2	3
położenie przedmiotu – x [cm] ± 0,1cm	7,9	7,9	7,9
położenie ekranu – y [cm] ± 0,1 cm	109,8	90,0	150,0
położenie soczewki – s_n	s₁	s₂	s₃
n=1	25,1	24,1	24,6
n=2	25,4	24,2	24,5
n=3	25,4	24,1	24,4
n=4	25,2	24,5	24,6
n=5	25,7	24,2	24,4
n=6	22,7	27,0	21,6
n=7	23,3	26,5	21,6
n=8	22,7	27,1	22,1
n=9	22,9	26,5	21,7
n=10	23,0	27,2	21,8
s=1/10 Σ_n=1ⁿ⁼¹⁰s_n [cm]	24,14	25,54	23,13
σs_n=√ (1/10*9 Σ_n=1¹⁰(s_n− s)²) [cm]	0,41	0,45	0,46
Δs_n=σ s_n*Student−Fisher	0,44	0,47	0,49
a=s−x	16,24	17,64	15,23
Δ a=Δs_n+Δ x	0,54	0,57	0,59
b=y−s	85,66	64,46	126,87
Δ b=Δs_n+Δ y	0,54	0,57	0,59
f=ab/a+b	13,65	13,85	13,60
σ f = √((∂ f/∂ aΔ a)² +(∂ f/∂ bΔ b)² ) [cm]	0,38	0,35	0,47
f=1/3 (f₁+f₂+f₃) [cm]	13,70	σ f = σ f₃	0,47

3.2 soczewka cienka skupiająca – metoda Bessela

W tej części wykonałem 3 serie pięciu pomiarów położenia soczewki. W jednej serii notowałem położenie soczewki dla obrazu powiększonego oraz pomniejszonego. Wykonałem także jedną serię pomiarów dla soczewki obróconej o π.

We wszystkich kolejnych częśćiach dotyczących metody Bessela użyłem następujących zależności oraz oznaczeń:

*Student-Fisher

σx przemnożona przez współczynik S-F = 1,1414

średnia

średnia arytmetyczna

σ średniej

niepewność wyznaczenia dana odchyleniem standardowym średniej

Δ a

niepewność wyznaczenia a za pomocą różniczki zupełnej

Δ L

niepewność wyznaczenia L będca sumą niepewność odczytu ,,x” oraz ,,y”

σ f

niepewność wyznaczenia f za pomocą różniczki zupełnej

	seria	pierwsza	seria	druga	seria	trzecia	seria	trzecia +π
X [cm]	22,3		22,3		22,3		22,3
Y [cm]	91,0		79,0		106,0		120,0
	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁+π	a₂+π
	38,8	68,4	42,8	56,7	38,0	88,2	40,6	91,1
	38,7	68,6	42,9	56,6	38,1	88,8	40,9	90,7
	38,8	68,2	43,0	57,0	38,1	88,5	40,9	91,0
	38,8	68,4	42,6	56,8	38,2	88,4	40,7	90,9
	38,9	68,5	43,1	56,3	38,3	88,1	40,8	91,0
średnia	38,80	68,42	42,88	56,68	38,14	88,40	40,78	90,94
σ średniej	0,03	0,07	0,09	0,12	0,05	0,12	0,06	0,07
* Student-Fisher	0,04	0,08	0,10	0,13	0,06	0,14	0,07	0,08
a=\|a₁−a₂\|	29,62		13,80		50,26		50,16
Δ a=	0,08		0,16		0,15		0,10
L= y−x	68,70		56,70		83,70		97,70
Δ L	0,20
f=(L²−a²)/4L	13,98		13,34		13,38		17,99
σ f	0,06		0,05		0,07		0,06
f = 1/3 (f₁+f₂+f₃)	13,57
σ f = σ f₃	0,07

3.3 układ soczewek cienkich: skupiająca i rozpaszająca – metoda Bessela

Pomiarów dokonałem w sposób analogiczny do poprzedniej sekcji. Ogniskową soczewki rozpraszającej obliczyłem przekształcając wzór na ogniskową układu soczewek.

	seria	pierwsza	seria	druga	seria	trzecia	seria	trzecia +π
X [cm]	22,3		22,3		22,3		22,3
Y [cm]	120		104		135		135
	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁+π	a₂+π
	47,9	97,2	50,8	78,1	47,0	113,4	45,0	111,7
	47,8	98,3	50,6	77,4	46,7	113,1	44,4	111,6
	48,0	98,0	51,7	77,9	46,5	113,3	44,4	111,4
	47,8	97,7	51,0	77,5	46,6	113,1	44,5	111,5
	47,7	98,1	50,9	77,8	46,7	113,2	44,6	111,1
Średnia	47,84	97,86	51,00	77,74	46,70	113,22	44,58	111,46
σ średniej	0,05	0,19	0,19	0,13	0,08	0,06	0,11	0,10
* Student-Fisher	0,06	0,22	0,21	0,15	0,10	0,07	0,13	0,12
a=\|a₁−a₂\|	50,02		26,74		66,52		66,88
Δ a=	0,23		0,26		0,12		0,17
L= y−x	97,7		81,7		112,7		112,7
Δ L	0,20
f=(L²−a²)/4L	18,023		18,237		18,359		18,253
σ f	0,063		0,055		0,067		0,068
f = 1/3 (f₁+f₂+f₃)	18,22
σ f = σ f₃	0,067
f_szukane	-55,24
σ f_szukane	7,62

3.4 soczewka gruba – aberracja sferyczna – metoda Bessela

W tej części dokonałem trzech serii pomiarowych: dla promieni przyosiowych, brzegowych oraz pośrednich.

	promienie	przyosiowe	promienie	pośrednie	promienie	brzegowe
X [cm]	22,3		22,3		22,3
Y [cm]	135		135		135
	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁	a₂
	47,9	109,8	47,2	108,8	46,7	110,4
	48,4	107,1	47,4	108,9	46,2	110,2
	48,3	107	47,3	108,8	46,4	110,1
	48,1	106,8	47,1	108,9	46,4	110,2
	48,2	106,7	47,3	108,9	46,5	110
Średnia	48,18	107,48	47,26	108,86	46,44	110,18
σ średniej	0,09	0,58	0,05	0,02	0,08	0,07
* Student-Fisher	0,10	0,67	0,06	0,03	0,09	0,08
a=\|a₁−a₂\|	59,30		61,60		63,74
Δ a=	0,67		0,06		0,12
L= y−x	112,7		112,7		112,7
Δ L	0,2
f=(L²−a²)/4L	20,374		19,758		19,163
σ f	0,064		0,065		0,066
A_sf=f₁−f₃	1,21
Δ A_sf	0,09

3.5 soczewka gruba – aberracja chromatyczna – metoda Bessela

	filtr	niebieski	filtr	czerwony	filtr	niebieski2
X [cm]	22,3		22,3		22,3
Y [cm]	135,0		135,0		135,0
	a₁	a₂	a₁	a₂	a₁	a₂
	47,8	108,0	48,0	107,9	47,1	107,7
	47,6	107,8	48,1	108,0	47,3	108,1
	47,5	108,1	47,9	107,4	47,4	107,8
	47,9	107,9	48,0	107,6	47,3	107,8
	47,4	108,0	47,8	107,7	47,1	107,5
Średnia	47,64	107,96	47,96	107,72	47,24	107,78
σ średniej	0,09	0,05	0,05	0,11	0,06	0,10
* Student-Fisher	0,11	0,06	0,06	0,12	0,07	0,11
a=\|a₁−a₂\|	60,32		59,76		60,54
Δ a=	0,12		0,14		0,13
L= y−x	112,7		112,7		112,7
Δ L	0,2
	f₁		f₂		f_1b
f=(L²−a²)/4L	20,104		20,253		20,045
σ f	0,064		0,064		0,064
A_ch	f₂−f₁	f₂−f_1b
A_ch	0,149	0,208
Δ A_ch	0,091	0,091

3.6 soczewka gruba – astygmatyzm

W części tej obserwowałem zjawisko astygmatyzmu. zamiast przedmiotu⁹ przed soczewką zamontowałem matówkę z nadrukowaną (namalowaną) siatką linii prostopadłych¹⁰. Soczewkę zamontowałem na saneczkach z podziałką kątową. Dokonałem trzech obserwacji, dla soczewki wychylonej o 20^∘ CCW¹¹, 40^∘ CCW, 30^∘ CW¹².

Przy pierwszym wychyleniu (20ccw) bez problemu udało i się zaobserwować kratkę gdzy soczewka była w położeniu 47,0cm, linie poziome przy 46,2cm oraz linie pionowe przy 43,0cm

Przy drugim wychyleniu (40ccw) z pewnymi trudnościami (widać było tylko kilka linii i do tego strasznie niewyraźnie) linie poziome przy 42,7cm oraz linie pionowe przy 33,5cm. Kratki nie udało mi się zaobserować.

Przy trzecim wychyleniu (30cw) także z takimi samymi trudnośćaimi sobserwowałem kratkę przy 43,5cm, linie poziome przy 45,5cm oraz linie pionowe przy 42,0[cm].

4 zestawienie wyników

OGISKOWE SOCZEWEK.

	na podstawie	r. soczewki	metoda	Bessela	wartości oczekiwane
	f[cm]	Δf[cm]	f[cm]	Δf[cm]	f[cm]
soczewka skupiająca	13,70	0,47	13,57	0,07	12,50
układ soczewek	—	—	18,22	0,07	16,67
soczewka rozpraszająca	—	—	-55,24	7,62	-50,00

WADY SOCZEWEK

aberracja	sferyczna	aberracja	chromatyczna	aberracja	chromatyczna 2
A_sf [cm]	Δ A_sf [cm]	A_ch [cm]	Δ A_ch [cm]	A_ch2 [cm]	Δ A_ch2 [cm]
1,21	0,09	0,149	0,091	0,208	0,091

Wyniki, które otrzymałem są zbliżone do oczekiwanych, lecz nie pokrywają się w granicach błędu. Najprawdopodobniej powodem takiego stanu rzeczy jest problem z jednoznaczym ustawieniem ostrości obrazu. Drugim powodem, który przychodzi mi na myśl jest to, że nie byłem w stanie ustawić wszystkich elementów na poziomie osi optycznej. Największy wpływ na wyniki doświadczenia ne pewno ma odległość środka krzywizny soczewki od założonej osi optycznej¹³

1: ogólnie kształt soczewki jest zadany kształtem jakiegoś ciała o symetrii obrotowej
2: po stronie U
3: po stronie R
4: zwany też urojonym
5: dla cienkiej soczewki
6: mówi się, że soczewka jest nieskorygowana
7: a soczewka przekorygowana
8: który upraszcza się dla przedmoitów w nieskończoności do n₂/f=Δ n/R
9: literki
10: jak w zeszycie ,,w kratke”
11: counter clockwise - przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
12: clockwise - zgodnie z ruchem wskazówek zegara
13: tzn odległość rzeczywistej osi optycznej od założonej.

This document was translated from L^AT_EX by H ^EV^EA.

Przypominam, że materiały te udostępnione zostały na zasadzie licencji CC: Uznanie Autorstwa - Użycie niekomercyjne - Na tych samych warunkach. Autor: Łukasz (frogu) Proszek.